【УМК «Просвещение»】Математика, 8 класс, часть 2: Исследование фигуры Чжао Шуаня: изящное доказательство теоремы Пифагора

Китайский математик Чжао Шуань в своих комментариях к «Чжоуби Сунцзин» впервые предложил метод доказательства с помощью «струнной фигуры». Эта фигура не требует сложных аксиоматических выводов, а исключительно использует метод площадей для геометрических преобразований, гармонично объединяя наглядность геометрии и строгость алгебры. Достаточно подготовить четыре равных прямоугольных треугольника (обозначим катеты как a и b, гипотенузу как c), соединив их по типу вентиля, мы получим на центральном участке квадратный промежуток со стороной (b - a), а внешний контур образует большой квадрат со стороной c!

От геометрии к алгебре: упрощение сложных замен величин

Ключевая формула теоремы Пифагора раскрывает равенство квадратов сторон прямоугольного треугольника. Используя фигуру Чжао Шуаня, мы можем легко установить уравнение площадей и полностью доказать эту теорему:

Шаг 1: Построение уравнения площадей

Наблюдая за составленной фигурой,Общая площадь большого квадратаможет быть вычислена двумя способами:

Способ 1: Прямое вычисление большого квадрата (со стороной c), площадь — $c^2$.

Способ 2: Вычисление отдельных частей внутри фигуры — площадь четырёх прямоугольных треугольников плюс площадь маленького квадрата по центру.

Шаг 2: Алгебраическое раскрытие и упрощение

На основе способа 2 запишем алгебраическое выражение: $4 \times (\frac{1}{2}ab) + (b-a)^2$.

Раскроем полный квадрат: $2ab + (b^2 - 2ab + a^2)$.

Соберём подобные члены, убрав $2ab$ и $-2ab$, и получим окончательный результат: $a^2 + b^2$.

Таким образом, $a^2 + b^2 = c^2$ доказано!

Вариант модели: трапециевидный метод президента Гарфилда

Неоднократно, в 1876 году президент США Джеймс Гарфилд (James Garfield) предложил изящный метод доказательства теоремы Пифагора, основанный на аналогичной логике соединения. Он использовал только два равных прямоугольных треугольника, расположил их вертикально с перекосом и соединил вершины, образовав прямоугольную трапецию. Используя формулу площади трапеции $\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$ и приравнивая её сумме площадей трёх внутренних треугольников (включая один равнобедренный прямоугольный треугольник), он также изящно вывел $a^2 + b^2 = c^2$.

Прямое и обратное применение теоремы Пифагора в реальной жизни

В реальных задачах межевания и строительства теорема Пифагора — это мощный инструмент для определения неизвестных расстояний. Например, если известна длина стороны равностороннего строительного фермы равна $6$, инженеру не нужно непосредственно измерять высоту — достаточно провести высоту, разделив его пополам, чтобы получить два прямоугольных треугольника. Используя формулу $3^2 + \text{высота}^2 = 6^2$, можно сразу вычислить высоту как $3\sqrt{3}$.

Аналогично, если человек прошёл $80\,\text{м}$ на восток, затем повернул и прошёл $60\,\text{м}$, и, наконец, прошёл $100\,\text{м}$, возвращаясь точно в начальную точку, то поскольку $80^2 + 60^2 = 100^2$, что идеально соответствует основной формуле (классическая пифагорова тройка 3-4-5, увеличенная в 20 раз), значит, первый поворот обязательно образовал угол $90^\circ$! Это яркое подтверждение обратной теоремы Пифагора в реальных условиях ориентации маршрутов.

🎯 Основной закон: Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов $a$ и $b$ всегда равна квадрату гипотенузы $c$. Эта формула является фундаментом как геометрии, так и алгебры — будь то вычисление длин сторон, расстояния между точками координат или определение прямых углов.

$a^2 + b^2 = c^2$

ВОПРОС 1

Как показано на рисунке, на плоскости прямоугольной системы координат заданы две точки $A(5, 0)$ и $B(0, 4)$. Найдите расстояние между этими точками.

$\sqrt{41}$

$41$

$9$

$3$

ВОПРОС 2

Как показано на рисунке, сторона равностороннего треугольника равна $6$. Найдите: (1) длину высоты $AD$; (2) площадь этого треугольника.

Высота $3\sqrt{3}$, площадь $9\sqrt{3}$

Высота $3\sqrt{3}$, площадь $18\sqrt{3}$

Высота $3$, площадь $9$

Высота $6$, площадь $18$

ВОПРОС 3

При каких значениях $x$ алгебраическое выражение $\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$ имеет смысл в области действительных чисел?

$x > \frac{1}{2}$

$x \ge \frac{1}{2}$

$x \neq \frac{1}{2}$

$x < \frac{1}{2}$

ВОПРОС 4

Если три стороны треугольника $a$, $b$, $c$ удовлетворяют условию $a^2 = c^2 - b^2$, является ли треугольник, образованный этими отрезками, прямоугольным? Почему?

Да, потому что выполняется обратная теорема Пифагора (не из-за параллельности двух прямых и равенства накрест лежащих углов)

Нет, если два действительных числа равны, то их абсолютные значения тоже равны

Нет, соответствующие углы равных треугольников равны

Нет, внутри угла точки, равноудалённые от сторон угла, лежат на биссектрисе угла

ВОПРОС 5

После того как Минь прошёл $80\,\text{м}$ на восток, он направился в другую сторону и прошёл ещё $60\,\text{м}$, затем в третью сторону — $100\,\text{м}$, вернувшись в исходную точку. В каком направлении он шёл после первых $80\,\text{м}$ на восток?

Юг или Север

Запад или Восток

Юго-восток или Северо-восток

Юго-запад или Северо-запад

Вызов: Загадка трапеции президента Гарфилда

Применение алгебраических тождеств и геометрических преобразований

В 1876 году президент США Джеймс Гарфилд (James Garfield) опубликовал изящный метод доказательства теоремы Пифагора. Обратите внимание на приведённую ниже геометрическую фигуру: он использовал два одинаковых прямоугольных треугольника, соединил их с вертикальным смещением и соединил верхние вершины, образовав полную «прямоугольную трапецию».

Вопрос 1

Какой формы треугольник занимает жёлтую область внутри этой прямоугольной трапеции? Чему равны его основание и высота?

Подробное решение:
Жёлтый треугольник — эторавнобедренный прямоугольный треугольник.
Поскольку нижний синий треугольник и синий треугольник в верхнем левом углу равны (оба катета — $a$ и $b$), обозначим углы при основании как $\alpha$ и $\beta$. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике $\alpha + \beta = 90^\circ$.
Развернутый угол (прямая линия) составляет $180^\circ$, вычитая два острых угла, оставшийся угол ровно $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, жёлтый треугольник является не только равнобедренным (обе стороны — гипотенузы $c$), но и прямоугольным. Его основание и высота оба равны $c$.

Вопрос 2

Используя формулу площади трапеции $S = \frac{1}{2}(\text{верхнее основание} + \text{нижнее основание}) \times \text{высота}$, запишите алгебраическое выражение для общей площади всей фигуры и раскройте скобки, упростив его.

Подробное решение:
Наблюдая за всей большой фигурой, это прямоугольная трапеция:

Верхнее основание: Короткая сторона $b$
Нижнее основание: Длинная сторона $a$
Высота: Вертикальная высота трапеции — это сумма двух отрезков, то есть $(a + b)$

Подставим в формулу площади трапеции:
$S_{\text{общ}} = \frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}(a + b)^2$
Раскрыв с помощью формулы полного квадрата, получим:
$S_{\text{общ}} = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2$.

Вопрос 3

Теперь выразите общую площадь через сумму площадей трёх внутренних треугольников и установите уравнение с результатом из вопроса 2. Как именно это доказывает теорему Пифагора?

Подробное решение:
Площадь трапеции также можно рассматривать как сумму площадей трёх внутренних треугольников:
$S_{\text{общ}} = 2 \times (\text{синий прямоугольный треугольник}) + 1 \times (\text{жёлтый равнобедренный прямоугольный треугольник})$
$S_{\text{общ}} = 2 \times (\frac{1}{2}ab) + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$

Поскольку оба метода вычисления площади описывают одну и ту же трапецию, эти выражения должны быть равны:
$\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
Вычтем $ab$ из обеих частей уравнения:
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}c^2$
Наконец, умножим обе части уравнения на 2:
$a^2 + b^2 = c^2$
Президент Гарфилд доказал теорему Пифагора всего за два шага замены площадей — чисто и изящно!